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均匀分布及在R语言中的实现

减小字体增大字体作者:本站  来源:本站整理  发布时间:2020-07-18 13:25:48

均匀分布也称矩形分布,是最简单的一种连续型分布。

一、均匀分布

若随机变量X的概率密度函数为:

均匀分布概率函数

则称X服从区间[a, b]上的均匀分布,记为X~U[a, b]。

概率密度图像如下图所示:

均匀分布概率函数图像

其分布函数为:

均匀分布函数

分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分;在坐标轴上,概率密度函数的函数值y表示落在x点上的概率为y;分布函数的函数值y则表示x落在区间(-∞,+∞)上的概率。

分布函数图像如下图所示:

均匀分布函数图像

均匀分布的数学期望与方差分别为:

均匀分布数学期望公式

均匀分布方差

二、R语言与均匀分布相关的函数

在R中,unif是用来进行均匀分布分析的,在其前面加上不同的前缀表示不同的函数,各函数的使用格式如下所示:

dunif(x, min = 0, max = 1, log = FALSE)  # 分布密度
punif(q, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)  # 分布函数
qunif(p, min = 0, max = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)  # 分位数函数
runif(n, min = 0, max = 1)  # 随机数产生函数

各参数的主要含义如下:

xq : 数值向量

p : 概率向量

n : 观测次数值

minmax : 均匀分布的下限和上限,必须是有限的值,min相当于密度函数或分布函数中的a,默认值为0,max相当于b,默认值为1;

loglog.p: 逻辑值,默认为FALSE.指定为TRUE时,概率值p是以log(p)给出的;

lower.tail : 逻辑值,默认为TRUE. 指定为TRUE时,概率是P [ X ≤ x ],否则是 P [ X > x ].

三、均匀分布使用案例

设电阻R是随机变量,其值均匀分布在900Ω~1100Ω。

(1)求该区间内的分布密度;

(2)求电阻不超过950Ω的概率;

(3)求电阻超过950Ω的概率;

(4)在90%概率下,电阻值最大为多少;

(5)随机生成5个符合该均匀分布的电阻值。

由题意可知:其分布函数 f(r) = 1/(1100-900) = 1/200 ( 900 ≤ r ≤ 1100)

(1)因为是均匀分布,使用R语言进行求值时,选取[900, 1100]中任何一个值,其概率密度值都是一样的。

(2)即求 P(r ≤ 950)的概率,使用分布函数可以方便求出;

(3)即求p(r>950)的概率,可以使用 1 - p(r≤950) 计算得出。

(4)实际上相当于“电阻值不大于r的概率是90%,求x”,可以使用分位函数来求;

(5)使用runif()函数可以获得这样的随机值。

编写R程序如下:

a <- 900
b <- 1100

# 计算概率密度
f <- dunif(900ab
cat("概率密度为:"f"\n")

p <- punif(950ab)
cat("电阻不超过950欧姆的概率为:"p"\n")

p <- 1 - punif(950ab)
cat("电阻超过950欧姆的概率为:"p"\n")

R <- qunif(0.9ab)
cat("90%概率下,电阻值最大为:"R"\n")

# 随机生成5个符合该均匀分布的随机电阻值
runif(5ab)

在R运行结果如下图所示:

R语言实现均匀分布

本文(完)


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