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泊松分布及在R语言中的实现

减小字体增大字体作者:本站  来源:本站整理  发布时间:2020-07-01 07:33:37

泊松分布(Poisson Distribution)是一种离散型概率分布。泊松分布是描述某一特定时间或空间段内,某一事件发生的次数的分布。如机器每周发生故障的次数,某医院妇产科2小时内出生的婴儿个数,某服务台在某时间段内到达的顾客次数等。

一、泊松分布律

泊松(Poisson)分布的分布律为:

泊松分布公式

其中,则称X服从参数为泊松分布,记为

这里的P即为等同区间内事件发生k次的概率;

X:事件次数的变量;

k:事件发生的次数,取值为0,1,2,3...

λ:区间内事件发生的平均次数(数学期望)

同时,显然有:

二、泊松分布的数学期望与方差

三、适用条件

(1)事件发生是小概率事件;

(2)事件的发生是相互独立的;

(3)事件在任意两个等同的区间内发生的概率是稳定的。

四、泊松分布的特征

(1)泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。要观察到这类事件,样本含量n必须很大。

(2)λ是泊松分布所依赖的唯一参数。λ值愈小,分布愈偏倚,随着λ的增大,分布趋于对称。

(3)当λ = 20时,泊松分布接近于正态分布;当λ = 50时,可以认为泊松分布呈正态分布。在实际工作中,当λ≥20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。

五、R语言中的相关函数与实例

1、相关函数

在R中,pois表示泊松分布,加上不同的前缀表示不同的函数,加上前缀d表示概率密度函数,加上前缀p表示分布函数,加前缀q表示分位函数,加前缀r表示随机生成数,各函数的语法格式如下:

dpois( xlambdalog = FALSE )   #发生x次随机事件的概率

ppois( qlambdalower.tail = TRUElog.p = FALSE ) # 至多发生q次事件的累计概率

qpois( plambdalower.tail = TRUElog.p = FALSE ) #在p概率下事件发生的次数

rpois( nlambda ) #重复n组试验,每组发生随机事件的次数

函数中各参数的含义:

  • x :非负整数向量,事件发生的次数;
  • q:数值向量;
  • p:概率值向量
  • n:整数值,随机试验的次数;
  • lambda:非负数值,事件发生的平均次数;
  • log,log.p:逻辑值,如果为TRUE,则概率p以log(p)的形式给出
  • lower.tail:逻辑值,如果为TRUE(默认值),则概率是p[x≤ x],若为 FALSE 则为p[X>x]。

几点说明:

(1)若x为非整数,dpois 的结果将会使0,并给出一个警告错误;

(2)分位数是右连续的,qpois(p, lambda) 表示x是最小整数的情况:P(X ≤ x) ≥ p;

(3)设置lower.tail = FALSE,可以得到更加精确的结果,而lower.tail = TRUE将返回1;

(4)无效的lambda值,将会返回NaN,并给出警告错误。

2、使用示例

(1)某银行,顾客到达柜台的平均值是5分钟3.2名,计算:①接下来5分钟内,有0名顾客、1名顾客和2名顾客到达的概率分别是多少?②在5分钟内至多有7名顾客到达的概率是多少?③在5分钟内有7名以上顾客到达的概率是多少?④在90%的概率下,5分钟内至多有几名顾客到达?

编写R程序如下:

lmbda<- 3.2
# 5分钟内0名、1名、2名顾客的概率
dpois(0:2lmbda)

# 5分钟至多7名顾客的概率
ppois(7lmbda)

# 5分钟有7名以上顾客到达的概率
1ppois(7lmbda)

# 90%概率下,5分钟内至多有几名顾客到达
qpois(0.9lmbda)

运行结果如下图所示:

R 泊松分布的例子

(2)某工厂某种设备每周的平均故障台数为2.3台,求下周该设备没有发生故障的概率,下周至多有3台发生故障的概率;重复模拟10组试验,每组发生故障的台数是多少

编写R程序如下:

lambda<- 2.3
# 下周没有设备发生故障的概率
dpois(0lambda)

#下周至多有3台设备发生故障的概率
ppois(3lambda)

#重复1000组试验,每组发生故障的台数
rpois(10lambda)

在R中运行的结果如下图所示:

R 泊松分布示例

我们也可以使用R绘制出泊松分布的概率密度图,下例演示了均值为2,重复1000次情况下的直方图。

x<-rpois(10002)
hist(x)

绘图结果之一如下(因为随机生成,每次的结果并不一定相同):

泊松分布图
 

本文(完)


如文中有不妥之处,敬请留言指出。

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